Výpočet očekávané hodnoty pro jednotlivé sázky

Výpočet očekávané hodnoty pro jednotlivé sázky
Strategie
29.06. 08:55 0

Očekávaná hodnota je ekonomicko-matematický pojem, který kromě jiných oborů, našel své uplatnění také v hazardu. Konkrétně se využívá k výpočtu výhody kasina neboli house edge. V dnešním článku si tak ukážeme návod, jak si vypočítat očekávanou hodnotu pro jednotlivé sázky tak, abyste si sami byli schopni spočítat očekávanou ztrátu či zisk prakticky pro cokoliv.

Jak jsme již říkali v několika předchozích článcích, výhoda kasina/hráče je jedním ze základních ukazatelů, kterým byste měli poměřovat jednotlivé sázky. Říká nám totiž, jak moc je jeden z účastníků ve výhodě oproti tomu druhému. Vaším cílem je samozřejmě vybírat takové sázky, které mají výhodu kasina co nejbližší nule, nebo se dokonce překlápí do výhody hráče.

K tomuto nám slouží právě očekávaná hodnota. Matematicky se jedná o vážený aritmetický průměr a v obecném tvaru bude jeho vypadat jako: 

EV = X1P1 + X2P2 …. + XnPn

  • EV = očekávaná střední hodnota (z anglického Expected Value)
  • X = výsledek situace (zisk/ztráta)
  • P = pravděpodobnost pro jednotlivé situace

Hod mincí

Nejlépe se to samozřejmě vysvětlí na jednoduchém příkladu. Použijeme proto naprosto základní hod mincí. Házet budou dva hráči, kteří každý vsadí na jedno stranu mince 1 Kč. Sázející, který uhádne výsledek, bere obě mince. Jedná se tedy o sázku v poměru 1:1. Převedeme-li naše zadání do rovnice výše, vyjde nám:

EV = 1*0,5 + (-1)*0,5

EV = 0

V rovnici pak tedy můžeme vidět dvě situace, které mohou vzniknout. Za prvé je zde vyznačena situace, že uhodnete, která strana mince padne a vyhrajete jednu minci (1*0,5). K tomu se poté přidá druhá situace, kdy jednu vsazenou minci prohrajete (-1*0,5).

Očekávaná hodnota je v tomto případě 0 % a jedná se tak o rovnou sázku. Znamená to, že čím déle by tito hráči házeli mincí, tím více by se jejich celkový zisk nebo ztráta blížil k hodnotě k nule.

Očekávaná hodnota u rulety

V kasinech se ovšem s nulovou očekávanou hodnotu (house edge), až na výjimky, nesetkáte. Nejlépe se výpočet výhody kasina ukazuje právě na sázkách u rulety. Tam totiž vychází stejná hodnota u všech sázek. A to konkrétně 2,7 % u evropské rulety a 5,26 % u americké. A to podle vzorců:

Evropská ruleta; sázka na barvu – výplata 1:1, šance na výhru 18/37, šance na prohru 19/37
EV = (1*18/37) + (-1*19/37) = -0,02703 => výhoda hráče je -2,703 %

Americká ruleta; sázka na barvu – výplata 1:1, šance na výhru 18/38, šance na prohru 20/38
EV = (1*18/38) + (-1*20/38) = -0,05263 => výhoda hráče je -5,263 %

K číslům jsme v rovnicím přišli stejným způsobem jako u hodů mincí. 1 a -1 jsou výhra a prohra a pravděpodobnost se vypočítává počtu výherních a nevýherních polí. Sami si pak můžete vyzkoušet, že stejná hodnota vám vyjde při klasickém výplatním poměru u všech možných sázek.

Pojďme se nyní podívat na to, jak se očekávané hodnotě projeví přijetí pravidla Le Partage, které je možné vidět u některých evropských rulet v Monte Carlu. Toto pravidlo říká, že pokud hráč vsadí rovnou sázku a padne 0, je mu půlka sázky vrácena a druhá propadne kasinu.

EV = (1*18/37) + (-1*18/37) + (-0,5*1/37) = -0,0135

Výhoda kasina je v tomto případě snížena na 1,35 %. Ale pozor! Toto pravidlo se vztahuje pouze na rovné sázky. U ostatních sázek zůstává tradiční hodnota 2,7 %.

Kombinované sázky u rulety

Pravidla rulety nicméně dovolují základní sázky mezi sebou kombinovat a pokrýt tak libovolnou část hracího pole. Některé sázkové systémy jsou na tomto principu dokonce postaveny. Nyní si proto rozebereme, jak se bude počítat očekává hodnota pro takové kombinované sázky.

Dejme si ještě poněkud jednodušší situaci, kdy vsadíte po jednom žetonu na 3 sázky:

  • 1 žeton na červenou
  • 1 žeton na první tucet
  • 1 žeton na číslo jedna

Na obrázku pak můžete vidět vložené sázky a také již barevně vyznačen počet výherních polí. Jaké tedy mohou nastat situace:

  1. Padne číslo 1 – Vyhráváme všechny 3 sázky, celkem tedy 38 mincí (35+2+1). Pravděpodobnost 1/37
  2. Padne červená z prvního tuctu – Vyhráváme celkem dvě mince (2+1-1). Pravděpodobnost 5/37
  3. Padne černá v prvním tuctu – Vyhráváme nula mincí (2-1-1). Pravděpodobnost 6/37
  4. Padne červená v druhém nebo třetím tuctu – Prohráváme 1 minci (1-1-1). Pravděpodobnost 12/37
  5. Padne černá v druhém nebo třetím tuctu nebo 0 – Prohráváme 3 mince (-1-1-1). Pravděpodobnost 13/37

Výsledný vzorec tedy bude vypadat takto:

EV = (38*1/37) + (2*5/37) + (0*6/37) + (-1*12/37) + (-3*13/37) =  -0,08108

Výsledek pak tedy lze interpretovat tak, že za každou tuto sázku budete očekávat ztrátu 0,081 Kč, což je přesně 2,7 % ze tří mincí, které jsou pro tuto sázku vloženy. Zde je tedy matematický důkaz toho, že sázecí systémy využívající různého pokrytí hracího za účelem zvýšení house edge u rulety prostě nefungují.

Očekávaná hodnota u ostatních her

Použitím stejného principu, jako jsme popsali u rulety, můžete poté vypočítat očekávanou hodnotu i u ostatních sázek. Pojďme se nejprve podívat například na hru blackjack. House edge u blackjacku jako takového se určuje dost složitě, a protože se na výši výhody kasina vždy odráží pravidla jednotlivých stolů, jedná se variabilní číslo. To nám nicméně nebrání výpočtu očekáváné hodnoty pro některou z jeho vedlejších sázek.

Zkusíme si tedy analyzovat vedlejší sázku Perfect pair, se kterou se lze setkat v některých kasinech. Jak již název vypovídá, vsází se na to, že hráč vytvoří z prvních dvou karet pár. Pro naši analýzu řekněme, že se hraje se 6 balíčky.

Hand Výplatní poměr Pravděpodobnost
Smíšené páry 5 ku 1 12/311
Páry v barvě 10 ku 1 6/311
Identické páry 30 ku 1 5/311
Bez páru -1 288/311

Pokud informace z tabulky dosadíme do naší rovnice:

EV = (5*12/311) + (10*6/311) + (30*5/311) + (-1*288/311) = - 0,05787

House edge pro tuto vedlejší sázku je tedy 5,787 %, což znamená, že očekávaná ztráta na jednu vsazenou korunu je asi 0,058 Kč.

Pass sázka u kostek

Protože jsou kostky velmi oblíbenou hrou, ukážeme si také, jak vypočítat očekávánou hodnotu pro nejpopulárnější sázku u kostek. Tou je sázka Pass. U té hráč vyhrává v případě, že vrhač kostek hodí v prvním kole 7 nebo 11 nebo hodí číslo 4, 5, 6, 8, 9, 10, ustanoví tím point, a poté toto číslo hodí znovu. Tentokrát na to půjdeme trochu jinak. Nejprve je každopádně nutné si zobrazit jednotlivé kombinace pro kostky.

Součet Pravděpodobnost dopadu Jednotlivé kombinace
2 1/36 1,1
3 2/36 1,2+2,1
4 3/36 1,3+3,1+2,2
5 4/36 1,4+4,1+2,3+3,2
6 5/36 1,5+5,1+2,4+4,2+3,3
7 6/36 1,6+6,1+2,5+5,23,4+4,3
8 5/36 2,6+6,2+3,5+5,3+4,4
9 4/36 3,6+6,3+4,5+5,4
10 3/36 4,6+6,4+5,5
11 2/36 5,6+6,5
12 1/36 6+6

Z tabulky nyní vybereme pravděpodobnosti. Celkem lze se dvěma kostkami hodit 36 různých kombinací, jestliže lze hodit číslo 7 celkem šesti způsoby, pravděpodobnost pro číslo 7 bude 6/36. Podle stejné logiky vybereme šance i pro ostatní čísla.

Důležité je v tomto bodě ještě definovat vzorec pro situaci, kdy se utvoří point a hází se do té doby, dokud nepadne to samé číslo nebo dokud nepadne 7 a hráči prohrávají pass sázku. Úpravou vzorců poté dojdeme k výrazu p/(p+q), přičemž p je pravděpodobnost pro výhru a q je pravděpodobnost pro 7. Vzorec pak bude vypadat jako:

  1. Pravděpodobnost pro okamžitou výhru (7+11) = 6/36 + 2/36 = 8/36
  2. Pravděpodobnost pro výhru po ustanovení pointu = pr4*pr(4 před 7) + pr5*pr(5 před 7) + pr6*pr(6 před 7) + pr8*pr(8 před 7) + pr9*pr(9 před 7) + pr10*pr(10 před 7)
  3. Pravděpodobnost pro výhru = 8/36 + (3/36)*(3/9) + (4/36)*(4/10) + (5/36)*(5/11) + (5/36)*(5/11) + (4/36)*(4/10) + (3/36)*(3/9) = 244/495
  4. Pravděpodobnost pro prohru = 1 – (244/495) = 251/495

EV = (1*244/495) + (-1*251/495) = -0,014141

House edge pro sázku pass u kostek je tedy 1,41 %. Prakticky stejným způsobem si poté můžete vypočítat všechny sázky.

Rovná sázka

Jistě jste si mohli všimnout, prakticky všechny sázky, u kterých jsme v tomto článku počítali očekávanou hodnotu, vyšly záporné. Tímto způsobem si kasina zajišťují zisk v dlouhém období. Existují nicméně i hry, kdy je hráč ve výhodě a jeho očekávaná hodnota je tak kladná. Jednou z těch her je například video poker Wild Deuces. Výhody na straně hráče dosahují při určitých situacích také card counteři u blackjacku. V obou případech je nicméně nutné držet se optimální strategie.

Příklad rovné sázky, kdy není ve výhodě ani kasino ani hráče, jsme mohli vidět na začátku článku s hodem mincí, kdy byla hodnota EV rovna 0. Opět se vrátíme k ruletě a budeme počítat, kolik by musel sázející vyhrát v ruletě pří sázce na číslo, aby jeho EV byla 0. Opět použijeme stejnou rovnici, jen místo EV dosadíme 0 a místo výhry X.

0 = (X*1/37) + (-1*36/37)

36/37 = X/37

X=36 Kč

Z výpočtu vyplývá, že kdyby kasino vyplácelo výhru ze sázky na jedno číslo s kurzem 36 ku 1, na ruletě by v dlouhém období nezískávalo žádný zisk, ani nevykazovalo ztrátu.

Těchto výpočtů samozřejmě můžete využít i v sázkách, které v kasinu nenajdete. Řekněme, že se budete vsázet, kdo vytáhne z balíčku vyšší kartu. Váš protihráč si vytáhne z 52 kartového balíčku 9. Vy vsadíte korunu a když si vytáhnete stejnou nebo nižší kartu, prohráváte korunu a když vyšší, tak vyhráváte. Karty jsou hodnoceny jak v pokeru a eso je vždy za 11. Otázka je, kolik vám musí vyplatit, aby byla EV rovna 0.

Šance na výhru = 20/51 (20 karet má hodnotu vyšší než 9 a v balíku už zůstává pouze 51 karet)

Šance na prohru = 31/51

0 = (X*20/51) + (-1*31/51)

X = 1,55 Kč

Jestliže ve výše popsaném případě nedostanete alespoň 1,55 Kč za každou vsazenou korunu, hrajete v nevýhodě a naopak.

Přesně podle stejného postupu si poté můžete sami vypočítat očekávanou hodnotu prakticky čehokoliv, u čeho lze vyčíslit pravděpodobnost a výsledkem je zisk nebo ztráta. Důležité je si při tvorbě vzorců pamatovat, že součet pravděpodobností musí být vždy 1 neboli 100 %.

Sdílejte tento článek

Komentáře (0)

nebo se zaregistrujte, abyste mohli přidat komentář.

Nejlepší Online Casina

Baccarat

Baccarat

Baccarat, oblíbená hra agenta Jejího veličenstva, světoznámého milovníka žen a vodky s martini, Jamese Bonda. O této hře nemusíte vědět téměř nic a stále budete mít šanci na skvělé výhry. Vyzkoušejte si hru, která byla po desítky let jen výsadou...

Blackjack

Blackjack

Blackjack patří rozhodně mezi jednu z nejpopulárněších hazardních karetních her, která si našla miliony příznivců po celém světě. Její nespornou výhodou je její velmi nízká house edge, kterou můžete navíc díky správným rozhodnutím ještě snížit.

Loterie

Loterie

V této části se budeme věnovat nejpopulárnějším loteriím, které si můžete zahrát u nás, či u našich sousedů. Dozvíte se tak nejdůležitější informace o nejstarší české loterii Sportka, dalších českých loteriích, Kenu či oblíbeném Eurolottu.

Kostky

Kostky

Kostky neboli craps jsou bezesporu nejstarší hazardní hrou na světě. A vzhledem k tomu, že se s nimi setkáváme již od útlého věku, patří i mezi velmi oblíbené hazardní hry v kasinu. Složité se zdají jen na první pohled, po pár hrách si sázky...

Video poker

Video poker

Video poker je další hazardní hrou, kterou hrajete na automatu. Nenechte se zmást. Narozdíl od výherních automatů jde o hru, která nabízí jednu z nejmenších výhod pro kasino. Za jistých podmínek můžete dokonce výhodu přesunout na stranu hráče.

Blackjack

Blackjack

Blackjack patří rozhodně mezi jednu z nejpopulárněších hazardních karetních her, která si našla miliony příznivců po celém světě. Její nespornou výhodou je její velmi nízká house edge, kterou můžete navíc díky správným rozhodnutím ještě snížit.

Ruleta

Ruleta

Ruletu vám asi nemusíme příliš představovat. Je to přece "Královna hazardních her," kterou znají už malé děti ze svých her. Můžete si ji zahrát v několika verzích, které najdete po celém světě i v každém online kasinu.

Loterie

Loterie

V této části se budeme věnovat nejpopulárnějším loteriím, které si můžete zahrát u nás, či u našich sousedů. Dozvíte se tak nejdůležitější informace o nejstarší české loterii Sportka, dalších českých loteriích, Kenu či oblíbeném Eurolottu.

Poker

Poker

Poker se stal v poslední době velmi populární hazardní hrou, kterou lze ale velmi dobře ovlivňovat. Jde totiž o dovednostní hazardní hru. Čím lepším hráčem jste, tím lepší výsledky uhrajete. V kasinech narazíte hned na několik druhů pokeru.

Hrací automaty

Hrací automaty

Hrací automaty patří mezi nejoblíbenější druh hazardních her již několik desetiletí a jejich popularita stále roste. To přímo souvisí z jejich modernizací a vývojem. Hlavním důvodem je ale jejich jednoduché ovládání. Stačí totiž mačkat jen jedno...